AP 과목 A 핵심 2: 논리식, 집합, 진리표와 드모르간 법칙

AP 과목 A 제2편 · 2026년도·실라버스 Ver.7.2 기준의 독립 학습 자료입니다. IPA와 제휴하지 않으며 합격을 보장하지 않습니다. 시리즈 허브 보기

범위와 고지 이 글은 2026년 시험 대비용으로 작성했으며, 학습 범위는 IPA 공식 「응용정보기술자 시험(레벨 3) 실러버스 Ver.7.2」를 따릅니다. Motitory는 IPA(일본 정보처리추진기구)와 관련이 없으며, 이 글은 IPA의 검토나 승인을 받지 않았습니다. 이 글로 공부한다고 해서 합격이 보장되지는 않습니다. 모든 연습 문제는 Motitory 오리지널이며 IPA 공식 기출문제가 아닙니다. 시험 전에는 IPA 웹사이트에서 최신 실러버스와 시험 정보를 꼭 확인하세요.

학습 목표
실러버스 Ver.7.2 대응
용어 대응표 (한국어 / 일본어 / 영어)
집합과 벤 다이어그램
명제와 진릿값
논리 연산: NOT, AND, OR, XOR, NAND, NOR
연산 우선순위와 괄호
함의
진리표 만들기와 비교하기
드모르간의 법칙과 기타 기본 법칙
풀이 예제
자주 하는 실수
연습 문제 (Motitory 오리지널)
마무리 자가 점검과 복습 계획
출처

1. 학습 목표

이번 회를 마치면 다음을 할 수 있어야 합니다.

집합 기호(∪, ∩, 여집합, ⊆)를 읽고 벤 다이어그램에서 해당 영역을 찾는다.
명제와 진릿값이 무엇인지 설명한다.
NOT, AND, OR, XOR, NAND, NOR를 계산하고 연산 우선순위를 올바르게 적용한다.
진리표를 만들고, 이를 이용해 두 식이 동치인지 판단한다.
드모르간의 법칙을 집합 형태와 명제 형태 모두에 적용한다.
이 주제의 과목A 문제에서 자주 나오는 함정을 알아본다.

2. 실러버스 Ver.7.2 대응

이번 회는 IPA 실러버스 Ver.7.2의 다음 항목을 다룹니다.

大分類1：基礎理論／中分類1：基礎理論／1. 離散数学／（4）集合と命題 (대분류 1: 기초 이론 / 중분류 1: 기초 이론 / 1. 이산수학 / (4) 집합과 명제)
大分類1：基礎理論／中分類1：基礎理論／1. 離散数学／（5）論理演算 (대분류 1: 기초 이론 / 중분류 1: 기초 이론 / 1. 이산수학 / (5) 논리 연산)

(5) 항목에 함께 나오는 카르노 맵(カルノー図)은 이번 회에서 다루지 않습니다.

3. 용어 대응표 (한국어 / 일본어 / 영어)

시험 문제는 일본어로 출제되므로 개념과 함께 일본어 용어를 익혀 두세요.

한국어	일본어	영어
집합	集合	set
원소	要素	element
전체집합	全体集合	universal set
공집합	空集合	empty set
합집합	和集合	union
교집합	積集合	intersection
여집합	補集合	complement
부분집합	部分集合	subset
벤 다이어그램	ベン図	Venn diagram
명제	命題	proposition
진릿값	真理値	truth value
참 / 거짓	真／偽	true / false
부정	否定	negation (NOT)
논리합	論理和	OR
논리곱	論理積	AND
배타적 논리합	排他的論理和	XOR
부정 논리합	否定論理和	NOR
부정 논리곱	否定論理積	NAND
함의	含意	implication
진리표	真理値表	truth table
드모르간의 법칙	ド・モルガンの法則	De Morgan’s laws
분배 법칙	分配則	distributive law
논리 함수	論理関数	logical function

4. 집합과 벤 다이어그램

집합은 범위가 분명하게 정해진 원소들의 모임입니다. 논의 대상이 되는 원소를 모두 포함하는 집합을 전체집합 U라고 합니다.

표기	의미	포함되는 원소
A ∪ B	합집합	A에 속하거나 B에 속하는 원소 (둘 다 속해도 포함)
A ∩ B	교집합	A에도 B에도 속하는 원소
Aᶜ	여집합	U에 속하지만 A에는 속하지 않는 원소
A ⊆ B	부분집합	A의 모든 원소가 B에도 속함
A − B	차집합	A에는 속하고 B에는 속하지 않는 원소 (= A ∩ Bᶜ)

표기 참고: 이 글에서는 X의 여집합을 Xᶜ로 씁니다. 시험 문제에서는 집합(또는 식) 위에 가로줄을 그어 나타내는 경우가 많은데, 의미는 같습니다.

벤 다이어그램으로 읽기. 두 집합 A, B는 U를 네 영역으로 나눕니다.

영역	집합식
A에만 속함	A ∩ Bᶜ
B에만 속함	Aᶜ ∩ B
둘 다 속함	A ∩ B
어느 쪽에도 속하지 않음	Aᶜ ∩ Bᶜ

A, B와 ∪, ∩, 여집합으로 만든 식은 결국 이 네 영역 중 몇 개를 고르는 것입니다. 두 집합식을 비교할 때는 각 식이 어떤 영역을 칠하는지 나열해 보세요.

원소 개수 세기. 합집합의 원소 개수는 |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| 입니다. 교집합을 빼는 이유는 그렇지 않으면 두 번 세기 때문입니다. 또한 “어느 쪽에도 속하지 않는” 영역이 비어 있지 않을 수 있다는 점도 기억하세요: |U| = |A ∪ B| + |Aᶜ ∩ Bᶜ|.

5. 명제와 진릿값

명제는 참인지 거짓인지가 분명하게 정해지는 문장입니다. “7은 소수이다”는 명제(참)입니다. 반면 “x는 3보다 크다”는 x의 값이 정해지기 전까지는 명제가 아닙니다.

명제가 참인지 거짓인지를 나타내는 값이 진릿값입니다. 논리 연산에서는 보통 참을 1, 거짓을 0으로 씁니다.

집합과 명제는 서로 밀접하게 대응합니다. “원소가 A에 속한다”를 하나의 명제로 보면 연산이 다음과 같이 대응합니다.

집합	논리
A ∪ B	A OR B
A ∩ B	A AND B
Aᶜ	NOT A
U (전체집합)	1 (항상 참)
∅ (공집합)	0 (항상 거짓)
A ⊆ B	A → B가 항상 참

4절의 벤 다이어그램 네 영역도 진리표의 네 입력 행 (A, B) = (1, 0), (0, 1), (1, 1), (0, 0)에 각각 대응합니다.

6. 논리 연산: NOT, AND, OR, XOR, NAND, NOR

자주 쓰는 표기: NOT A는 ¬A 또는 A 위에 가로줄, A AND B는 A ∧ B 또는 A · B, A OR B는 A ∨ B 또는 A + B, A XOR B는 A ⊕ B로 씁니다. 이 글에서는 ¬, ∧, ∨, ⊕를 사용합니다.

A	B	¬A	A ∧ B	A ∨ B	A ⊕ B	¬(A ∧ B) NAND	¬(A ∨ B) NOR
0	0	1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	1	1	1	0
1	1	0	1	1	0	0	0

핵심 정리:

AND는 두 입력이 모두 1일 때만 1입니다.
OR는 입력 중 하나 이상이 1이면 1입니다. 둘 다 1인 경우도 포함하므로 1 ∨ 1 = 1입니다. “+” 표기에서도 1 + 1 = 1이며, 2가 아닙니다.
XOR는 두 입력이 서로 다를 때만 1입니다. 둘 다 1인 경우를 제외하는 “배타적” 논리합입니다.
NAND와 NOR는 각각 AND와 OR의 부정입니다.

7. 연산 우선순위와 괄호

일반적인 규칙은 NOT → AND → OR 순서입니다. 따라서

A ∨ B ∧ ¬C 는 A ∨ (B ∧ (¬C)) 를 뜻합니다.

“+와 ·” 표기에서는 일반 산수와 같은 방식으로, A + B · C는 A + (B · C)입니다.

시험에서 지킬 규칙:

문제에서 우선순위나 기호의 의미를 정의했다면 문제의 정의를 따릅니다.
XOR의 우선순위는 교재마다 통일되어 있지 않으므로, XOR가 다른 연산과 섞인 식에는 보통 괄호가 필요합니다. 직접 식을 고쳐 쓸 때도 조금이라도 애매하면 괄호를 넣으세요.
¬는 바로 뒤에 오는 것에만 적용됩니다. ¬A ∧ B는 (¬A) ∧ B이며, ¬(A ∧ B)와 다릅니다. 식 전체 위에 가로줄이 그어져 있으면 줄 아래의 모든 부분이 부정됩니다.

8. 함의

“A이면 B이다”를 A → B(함의)로 씁니다.

A	B	A → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

A → B는 A가 참이고 B가 거짓일 때만 거짓입니다.
A → B는 ¬A ∨ B와 동치입니다.
집합으로 보면 “A → B가 항상 참”은 A ⊆ B를 뜻합니다.
역(B → A)은 A → B와 동치가 아닙니다 ((0, 1) 행과 (1, 0) 행을 확인해 보세요).

9. 진리표 만들기와 비교하기

입력 변수가 n개이면 진리표는 2ⁿ행입니다 (변수 2개: 4행, 변수 3개: 8행).
2진수를 세듯이 입력을 체계적으로 나열합니다: 00, 01, 10, 11 (변수 3개면 000부터 111까지). 그래야 빠지는 행이 없습니다.
괄호 안쪽부터 바깥쪽으로, 식의 중간 단계마다 열을 하나씩 추가합니다.
두 식은 모든 행에서 결과 열이 일치할 때만 동치입니다. 한 행이라도 다르면 동치가 아니며, 그 행이 반례가 됩니다.

10. 드모르간의 법칙과 기타 기본 법칙

드모르간의 법칙 — 각 항을 부정하고, 동시에 연산자를 바꿉니다.

집합 형태	명제 형태
(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ	¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ	¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

말로 풀면: “(A 또는 B)가 아니다” = “A도 아니고 B도 아니다”, “(A 그리고 B)가 아니다” = “적어도 하나는 아니다”입니다.

명제 형태를 진리표로 확인해 봅시다.

A	B	¬(A ∨ B)	¬A ∧ ¬B	¬(A ∧ B)	¬A ∨ ¬B
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	0	0

모든 행에서 열이 일치하므로 두 법칙 모두 성립합니다.

기타 기본 법칙 (∨, ∧, 1, 0을 ∪, ∩, U, ∅로 바꿔도 각각 성립합니다):

법칙	형태
이중 부정	¬¬A = A
보원 법칙	A ∨ ¬A = 1, A ∧ ¬A = 0
항등 법칙	A ∨ 0 = A, A ∧ 1 = A
지배 법칙	A ∨ 1 = 1, A ∧ 0 = 0
멱등 법칙	A ∨ A = A, A ∧ A = A
교환 법칙 / 결합 법칙	같은 연산자끼리는 순서와 묶는 방법이 결과에 영향을 주지 않음
분배 법칙	A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
흡수 법칙	A ∨ (A ∧ B) = A, A ∧ (A ∨ B) = A

두 번째 분배 법칙(OR가 AND에 대해 분배됨)은 일반 산수에는 없는 형태라서 잊기 쉬우니 주의하세요.

11. 풀이 예제

예제 1: 진리표로 동치 확인하기

문제: A ⊕ B = (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)임을 보이시오.

A	B	A ∨ B	A ∧ B	¬(A ∧ B)	(A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)	A ⊕ B
0	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0	0

마지막 두 열이 네 행 모두에서 일치하므로 두 식은 동치입니다. 말로 읽으면 XOR는 “적어도 하나가 1” 그리고 “둘 다 1은 아님”입니다.

예제 2: 집합과 여집합

문제: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = U에 속하는 2의 배수, B = U에 속하는 3의 배수라고 하자. (A ∪ B)ᶜ를 구하고, 이것이 Aᶜ ∩ Bᶜ와 같은지 확인하시오.

A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9}
A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}
(A ∪ B)ᶜ = {1, 5, 7}
Aᶜ = {1, 3, 5, 7, 9}, Bᶜ = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
Aᶜ ∩ Bᶜ = {1, 5, 7}

드모르간의 법칙대로 둘 다 {1, 5, 7}입니다. 개수로도 확인해 보면 |A ∪ B| = 5 + 3 − |{6}| = 7이고, 바깥에 남는 원소는 10 − 7 = 3개입니다.

예제 3: 함의의 부정

문제: ¬(A → B)를 간단히 하시오.

A → B = ¬A ∨ B
¬(¬A ∨ B) = ¬¬A ∧ ¬B (드모르간)
= A ∧ ¬B (이중 부정)

즉 “A이면 B”가 성립하지 않는 경우는 정확히 “A이고 B가 아닌” 경우입니다. 집합으로 보면 A ⊆ B가 성립하지 않는 것은 정확히 A ∩ Bᶜ가 공집합이 아닐 때입니다.

12. 자주 하는 실수

드모르간을 절반만 적용. 항만 부정하고 ∧/∨를 바꾸지 않거나, 연산자만 바꾸고 항을 부정하지 않으면 틀립니다.
부정의 범위. ¬A ∧ B와 ¬(A ∧ B)는 서로 다른 식입니다.
OR를 배타적으로 해석. OR는 둘 다 1인 경우를 포함합니다. 그 경우를 제외하는 것은 XOR뿐입니다.
우선순위 무시. A ∨ B ∧ C를 왼쪽부터 (A ∨ B) ∧ C로 읽으면 일반적인 규칙에서는 틀립니다.
함의와 그 역의 혼동. A → B가 B → A를 뜻하지는 않습니다.
“둘 다 아님”과 “둘 다는 아님”. “A도 B도 아님”은 (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ, “둘 다는 아님”은 (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ입니다.
두 번째 분배 법칙 누락. A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
개수 계산 실수. 교집합을 빼는 것을 잊거나, 두 집합 바깥 영역을 빠뜨리는 경우입니다.
진리표 행 누락. 변수가 n개면 반드시 2ⁿ행이 필요합니다.

13. 연습 문제 (Motitory 오리지널)

Motitory 오리지널 / IPA 공식 기출문제가 아님. 아래 4문제는 모두 Motitory가 연습용으로 독자적으로 작성했습니다.

문제 1 — 집합식의 여집합

전체집합 U의 부분집합 A, B에 대해 (A ∩ Bᶜ)ᶜ와 같은 것은?

① Aᶜ ∩ B
② A ∪ Bᶜ
③ Aᶜ ∪ Bᶜ
④ Aᶜ ∪ B

정답: ④

풀이: 드모르간의 법칙에 따라 (A ∩ Bᶜ)ᶜ = Aᶜ ∪ (Bᶜ)ᶜ입니다. 여집합의 여집합은 원래 집합이므로 (Bᶜ)ᶜ = B가 되어 Aᶜ ∪ B입니다. 벤 다이어그램으로 보면 A ∩ Bᶜ는 “A에만 속함” 영역이므로, 그 여집합은 나머지 영역인 “B에만 속함”, “둘 다 속함”, “어느 쪽에도 속하지 않음”이고, 이는 정확히 Aᶜ ∪ B입니다.

선택지별 해설:

① 오답. 항은 부정했지만 ∩를 ∪로 바꾸지 않았습니다. 반례: A와 B 모두에 속하는 원소는 Aᶜ ∪ B에는 속하지만 Aᶜ ∩ B에는 속하지 않습니다.
② 오답. 연산자는 바꿨지만 항을 부정하지 않았습니다. 반례: A에만 속하는 원소는 정답 집합에 속하지 않지만 A ∪ Bᶜ에는 속합니다.
③ 오답. Bᶜ를 B로 되돌리지 않고(이중 여집합) 그대로 두었습니다. 반례: A에만 속하는 원소는 Bᶜ에 속하므로 Aᶜ ∪ Bᶜ에는 속하지만, 정답 집합에는 속하지 않습니다.
④ 정답. 두 항을 모두 부정하고 연산자도 바꿨습니다.

문제 2 — XOR처럼 동작하는 식

논리 변수 A, B는 0 또는 1의 값을 가진다. A와 B의 값이 서로 다를 때에만 1이 되는 식은?

① A ∨ B
② ¬(A ∧ B)
③ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)
④ (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)

정답: ③

풀이: “값이 서로 다르다”는 (A, B) = (1, 0) 또는 (0, 1)입니다. A ∧ ¬B는 (1, 0)일 때만, ¬A ∧ B는 (0, 1)일 때만 1입니다. 둘의 OR는 정확히 이 두 행에서만 1이 되며, 이것이 A ⊕ B의 정의입니다.

A	B	①	②	③	④
0	0	0	1	0	1
0	1	1	1	1	0
1	0	1	1	1	0
1	1	1	0	0	1

선택지별 해설:

① 오답. OR는 둘 다 1인 경우를 포함하므로, 값이 같은 (A, B) = (1, 1)에서도 1이 됩니다.
② 오답. NAND이며, (A, B) = (0, 0)에서도 1이 됩니다.
③ 정답. (1, 0)과 (0, 1)에서만 1입니다.
④ 오답. 값이 같을 때 1이 되는 식, 즉 XOR의 부정(동치)입니다. 어느 쪽을 부정하는지 헷갈리면 고르기 쉬운 함정입니다.

문제 3 — 연산 우선순위

우선순위가 NOT > AND > OR라고 할 때, X = ¬A ∨ B ∧ C의 값이 0이 되는 입력 (A, B, C)는?

① (A, B, C) = (1, 1, 0)
② (A, B, C) = (0, 0, 0)
③ (A, B, C) = (0, 1, 0)
④ (A, B, C) = (1, 1, 1)

정답: ①

풀이: 주어진 우선순위에 따라 X = (¬A) ∨ (B ∧ C)입니다. X가 0이 되려면 ¬A = 0이고 B ∧ C = 0이어야 하므로, A = 1이고 B ∧ C = 0이어야 합니다. (1, 1, 0)이면 ¬A = 0, B ∧ C = 1 ∧ 0 = 0이므로 X = 0입니다.

선택지별 해설:

① 정답. 두 부분이 모두 0이므로 X = 0입니다.
② 오답. A = 0이므로 ¬A = 1이 되어 X = 1입니다. 식을 왼쪽부터 (¬A ∨ B) ∧ C로 읽으면 0이 나오므로 이 선택지를 잘못 고를 수 있습니다.
③ 오답. 역시 A = 0이므로 ¬A = 1이 되어 X = 1입니다. 왼쪽부터 읽는 방식으로는 여기서도 0이 나오는데, 이 점이 그 읽는 방식을 믿을 수 없는 이유를 보여 줍니다.
④ 오답. ¬A = 0이지만 B ∧ C = 1이므로 X = 1입니다.

문제 4 — 여집합을 이용한 개수 세기

전체집합 U의 원소는 50개이다. 부분집합 A, B에 대해 |A| = 30, |B| = 25, |Aᶜ ∩ Bᶜ| = 5일 때, A ∩ B의 원소는 몇 개인가?

① 5
② 10
③ 25
④ 45

정답: ②

풀이: 드모르간의 법칙에 따라 Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ이므로 |A ∪ B| = 50 − 5 = 45입니다. 따라서 |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 30 + 25 − 45 = 10입니다.

선택지별 해설:

① 오답. 30 + 25 − 50으로 계산한 값으로, A ∪ B = U라고 가정해 어느 쪽에도 속하지 않는 원소 5개를 무시했습니다.
② 정답.
③ 오답. |A ∩ B| = 25가 되려면 B ⊆ A여야 하지만, 그러면 |A ∪ B| = |A| = 30이 되어 |A ∪ B| = 45와 모순됩니다.
④ 오답. 45는 중간값인 |A ∪ B|이지 교집합이 아닙니다.

14. 마무리 자가 점검과 복습 계획

다음을 앞부분을 다시 보지 않고 할 수 있는지 확인하세요.

두 집합의 벤 다이어그램에 (A ∪ B)ᶜ와 (A ∩ B)ᶜ를 칠하고 차이를 말할 수 있다.
AND, OR, XOR, NAND, NOR, A → B의 진리표를 외워서 쓸 수 있다.
일반적인 우선순위에 따라 A ∨ B ∧ ¬C에 괄호를 넣을 수 있다.
드모르간의 법칙을 집합 형태와 명제 형태 모두에 적용할 수 있다.
진리표로 동치를 증명하거나 반증하고, 성립하지 않을 때는 반례가 되는 행을 제시할 수 있다.

간격 복습 제안: 약 1일 후, 3일 후, 7일 후에 연습 문제 4개를 노트 없이 다시 풀어 보세요. 결과 기록은 원하면 각자 관리하세요. 이 글은 학습자 데이터를 수집하지 않습니다.

15. 출처

IPA 「応用情報技術者試験（レベル3）シラバス Ver.7.2」(응용정보기술자 시험(레벨 3) 실러버스 Ver.7.2). 이번 회의 학습 범위를 정하는 용도로만 사용했습니다: https://www.ipa.go.jp/shiken/syllabus/omgdg50000005kq5-att/syllabus_ap_ver7_2.pdf (2026-10-20 확인)

이 글의 해설, 예제, 연습 문제는 Motitory가 독자적으로 작성했습니다. IPA 기출문제나 제3자의 해설에서 가져온 것이 아닙니다.

목차

1. 학습 목표

2. 실러버스 Ver.7.2 대응

3. 용어 대응표 (한국어 / 일본어 / 영어)

4. 집합과 벤 다이어그램

5. 명제와 진릿값

6. 논리 연산: NOT, AND, OR, XOR, NAND, NOR

7. 연산 우선순위와 괄호

8. 함의

9. 진리표 만들기와 비교하기

10. 드모르간의 법칙과 기타 기본 법칙

11. 풀이 예제

예제 1: 진리표로 동치 확인하기

예제 2: 집합과 여집합

예제 3: 함의의 부정

12. 자주 하는 실수

13. 연습 문제 (Motitory 오리지널)

문제 1 — 집합식의 여집합

문제 2 — XOR처럼 동작하는 식

문제 3 — 연산 우선순위

문제 4 — 여집합을 이용한 개수 세기

14. 마무리 자가 점검과 복습 계획

15. 출처