2026 응용정보기술자시험 과목 A 제3회: 확률·기댓값·통계
응용정보기술자시험 과목 A에 필요한 순열과 조합, 조건부확률과 베이즈 정리, 기댓값과 분산, 이항분포, 기술통계, 상관계수와 p값을 풀이 예제와 오리지널 연습 문제 4문항으로 익힙니다.
AP 과목 A 제3편 · 2026년도·실라버스 Ver.7.2 기준의 독립 학습 자료입니다. IPA와 제휴하지 않으며 합격을 보장하지 않습니다. 시리즈 허브 보기
최종 수정일: 2026-10-20 이 글은 2026년 시험을 대상으로 IPA 공식 「応用情報技術者試験（レベル3）シラバス Ver.7.2」의 범위를 기준으로 작성한 학습 자료입니다. Motitory Labs는 IPA(独立行政法人情報処理推進機構)와 제휴·승인·후원 관계가 없으며, 이 글은 IPA의 공식 자료가 아닙니다. 이 글로 학습한다고 해서 합격이 보장되지는 않습니다. 시험 요강·실라버스는 개정될 수 있으므로, 응시 전에 반드시 IPA 공식 사이트에서 최신 정보를 확인하세요. 이 글의 예제와 연습문제는 모두 Motitory 오리지널 문제이며, IPA 공식 기출문제가 아닙니다.
학습 목차
- 학습 목표
- 용어 대응표 (한국어↔일본어↔영어)
- 경우의 수: 순열과 조합
- 확률의 기본 법칙과 조건부확률·베이즈 정리
- 확률변수·기댓값·분산
- 베르누이 분포·이항분포, 이산형과 연속형
- 기술통계: 대푯값·산포·그래프
- 상관과 추론의 핵심 용어
- 풀이 예제
- 오리지널 연습문제 4문항
- 공식 요약표
- 자주 하는 실수
- 최종 자가 점검
- 1·3·7일 간격 복습 제안
- IPA 실라버스 대응
- 출처
1. 학습 목표
이 회차를 마치면 다음을 할 수 있어야 합니다.
- 순서가 중요한지 판단하여 순열 nPr과 조합 nCr을 구분해 계산한다.
- 여사건, 덧셈정리(겹치는 부분 포함), 곱셈정리를 사용해 확률을 구한다.
- 독립과 배반(상호배반)의 차이를 설명한다.
- 조건부확률과 베이즈 정리로 “검사 양성일 때 실제 불량일 확률” 같은 문제를 푼다.
- 이산 확률변수의 기댓값·분산·표준편차를 계산하고, 기댓값이 실제로 나올 수 없는 값일 수도 있음을 이해한다.
- 이항분포의 핵심 공식을 사용하고, 연속형 분포에서 확률밀도는 한 점의 확률이 아님을 설명한다.
- 평균값·중앙값·최빈값, 분산·표준편차, 히스토그램·상자수염그림을 해석한다.
- 상관계수의 범위와 방향을 해석하고, 상관이 인과가 아님을 설명한다.
- p값·유의수준·제1종/제2종 오류 같은 추론 용어를 올바르게 해석한다.
2. 용어 대응표 (한국어↔일본어↔영어)
일본어 시험지에 나오는 표현을 바로 알아볼 수 있도록 정리했습니다.
| 한국어 | 일본어 | English |
|---|---|---|
| 경우의 수 | 場合の数 | number of cases (counting) |
| 계승(팩토리얼) | 階乗 | factorial |
| 순열 | 順列 | permutation |
| 조합 | 組合せ | combination |
| 확률 | 確率 | probability |
| 여사건 | 余事象 | complementary event |
| 덧셈정리 | 加法定理 | addition rule |
| 곱셈정리 | 乗法定理 | multiplication rule |
| 동시확률 | 同時確率 | joint probability |
| 배반(상호배반) | 排反 | mutually exclusive |
| 독립 | 独立 | independent |
| 조건부확률 | 条件付き確率 | conditional probability |
| 베이즈 정리 | ベイズの定理 | Bayes’ theorem |
| 확률변수 | 確率変数 | random variable |
| 확률분포 | 確率分布 | probability distribution |
| 베르누이 분포 | ベルヌーイ分布 | Bernoulli distribution |
| 이항분포 | 二項分布 | binomial distribution |
| 확률밀도 | 確率密度 | probability density |
| 정규분포 | 正規分布 | normal distribution |
| 기댓값 | 期待値 | expected value |
| 분산 | 分散 | variance |
| 표준편차 | 標準偏差 | standard deviation |
| 평균값 | 平均値 | mean |
| 중앙값 | 中央値（メジアン） | median |
| 최빈값 | 最頻値（モード） | mode |
| 도수분포표 | 度数分布表 | frequency distribution table |
| 히스토그램 | ヒストグラム | histogram |
| 상자수염그림 | 箱ひげ図 | box plot (box-and-whisker plot) |
| 사분위수 | 四分位数 | quartile |
| 이상값 | 外れ値 | outlier |
| 상관계수 | 相関係数 | correlation coefficient |
| 의사상관(허위상관) | 擬似相関 | spurious correlation |
| 모집단 / 표본 | 母集団 / 標本 | population / sample |
| 점추정 / 구간추정 | 点推定 / 区間推定 | point estimation / interval estimation |
| 귀무가설 | 帰無仮説 | null hypothesis |
| 대립가설 | 対立仮説 | alternative hypothesis |
| 유의수준 | 有意水準 | significance level |
| p값 | p値（有意確率） | p-value |
| 제1종 오류 | 第1種の誤り | Type I error |
| 제2종 오류 | 第2種の誤り | Type II error |
| 검정력 | 検出力（検定力） | power |
3. 경우의 수: 순열과 조합
3.1 기본 원리
- 곱의 법칙: 단계 1의 방법이 m가지, 각각에 대해 단계 2의 방법이 n가지이면 전체는 m × n가지.
- 합의 법칙: 동시에 일어나지 않는(겹치지 않는) 경우 A가 m가지, B가 n가지이면 A 또는 B는 m + n가지.
3.2 계승(팩토리얼)
n! = n × (n−1) × … × 2 × 1, 단 0! = 1 로 정의합니다. 예: 4! = 24. n개를 일렬로 나열하는 방법의 수가 n!입니다.
3.3 순열과 조합
기호: n = 전체 개수, r = 고르는 개수 (0 ≤ r ≤ n)
| 구분 | 순서 | 공식 | 예 (n=5, r=2) |
|---|---|---|---|
| 순열 nPr | 중요함 | nPr = n! / (n−r)! | 5P2 = 5 × 4 = 20 |
| 조합 nCr | 중요하지 않음 | nCr = n! / (r!(n−r)!) = nPr / r! | 5C2 = 20 / 2 = 10 |
| 중복순열 | 중요함, 같은 것 반복 허용 | n^r | 5^2 = 25 |
판단 요령: 고른 결과의 순서를 바꿨을 때 “다른 경우”로 세면 순열, “같은 경우”면 조합입니다.
- 회장·부회장처럼 역할이 구분되면 순서가 중요 → 순열
- 위원 2명처럼 역할이 같으면 순서가 무관 → 조합
nCr = nC(n−r) 성질도 기억해 두면 계산이 빨라집니다(예: 8C6 = 8C2 = 28).
4. 확률의 기본 법칙과 조건부확률·베이즈 정리
기호: P(A) = 사건 A의 확률, Aᶜ = A의 여사건, A∩B = A와 B가 모두 일어남, A∪B = A 또는 B가 일어남.
4.1 기본
- 모든 결과가 같은 정도로 일어날 때: P(A) = (A에 해당하는 경우의 수) / (전체 경우의 수)
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- 여사건: P(Aᶜ) = 1 − P(A). “적어도 하나”는 여사건으로 푸는 것이 빠른 경우가 많습니다.
4.2 덧셈정리 (겹치는 부분 주의)
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
A와 B가 배반(동시에 일어날 수 없음, P(A∩B)=0)일 때만 P(A∪B) = P(A) + P(B) 입니다.
4.3 곱셈정리와 독립
- 곱셈정리: P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
- 독립: 한 사건이 일어났는지가 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않음 → P(A∩B) = P(A) × P(B)
독립 ≠ 배반: P(A)>0, P(B)>0인 두 사건이 배반이면 P(A∩B)=0 ≠ P(A)P(B)이므로 독립이 아닙니다. “A가 일어나면 B는 절대 안 일어난다”는 강한 영향이기 때문입니다.
4.4 조건부확률
P(B|A) = P(A∩B) / P(A) (단, P(A) > 0)
“A가 일어났다는 조건에서 B의 확률”로, 분모가 전체가 아니라 A로 좁혀진 세계라는 점이 핵심입니다. P(B|A)와 P(A|B)는 일반적으로 다릅니다.
4.5 베이즈 정리
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B) 여기서 전확률: P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)
결과(B, 예: 검사 양성)를 보고 원인(A, 예: 실제 불량)의 확률을 거꾸로 구할 때 사용합니다. 원인의 사전확률 P(A)가 작으면, 검사가 정확해도 P(A|B)는 생각보다 작을 수 있습니다(예제 2 참고).
5. 확률변수·기댓값·분산
5.1 이산 확률변수
확률변수 X가 값 x₁, x₂, …, xₙ을 확률 P(X=xᵢ)로 가질 때, 이 대응을 확률분포라고 합니다. 이산형에서는
- 각 P(X=xᵢ) ≥ 0
- Σ P(X=xᵢ) = 1 (모든 확률의 합은 1)
5.2 기댓값·분산·표준편차
| 지표 | 공식 | 의미 |
|---|---|---|
| 기댓값 | E[X] = Σ x · P(X=x) | 확률로 가중한 평균 |
| 분산 | V[X] = E[(X−E[X])²] = E[X²] − (E[X])² | 기댓값 주위의 퍼짐 |
| 표준편차 | σ = √V[X] | 원래 단위로 되돌린 퍼짐 |
여기서 E[X²] = Σ x² · P(X=x) 입니다. (E[X])²와 E[X²]는 다릅니다.
선형 변환 성질 (a, b는 상수):
- E[aX + b] = aE[X] + b
- V[aX + b] = a²V[X] (상수 b를 더해도 분산은 변하지 않음)
기댓값은 실제로 나올 수 있는 값일 필요가 없습니다. 예를 들어 공정한 주사위의 기댓값은 3.5이지만, 3.5라는 눈은 나오지 않습니다. 기댓값은 “많이 반복했을 때의 평균적인 값”입니다.
6. 베르누이 분포·이항분포, 이산형과 연속형
6.1 베르누이 분포
성공(1)일 확률 p, 실패(0)일 확률 1−p인 1회 시행. E[X] = p, V[X] = p(1−p)
6.2 이항분포 B(n, p)
서로 독립인 베르누이 시행을 n회 반복했을 때의 성공 횟수 X.
P(X = k) = nCk · p^k · (1−p)^(n−k) (k = 0, 1, …, n) E[X] = np, V[X] = np(1−p)
예: 공정한 동전을 3번 던져 앞면이 정확히 2번 나올 확률 = 3C2 × (1/2)² × (1/2)¹ = 3/8. 이때 E[X] = 1.5, V[X] = 0.75.
6.3 이산형과 연속형 (개요)
| 이산형 | 연속형 | |
|---|---|---|
| 값 | 셀 수 있는 값 (0, 1, 2, …) | 구간 안의 모든 실수 |
| 확률 표현 | 확률질량 P(X=x) | 확률밀도함수 f(x) |
| 확률 계산 | 해당 값의 확률을 더함 | 구간의 넓이(적분) P(a≤X≤b)=∫ₐᵇ f(x)dx |
| 한 점의 확률 | 0보다 클 수 있음 | P(X=a) = 0 |
확률밀도 f(x)는 한 점의 확률이 아닙니다. 밀도 값은 1보다 클 수도 있으며, 전체 넓이가 1이 됩니다. 대표적 연속형인 정규분포에서는 평균 ±1σ 안에 약 68%, ±2σ 안에 약 95%가 들어간다는 근사를 알아 두면 편리합니다.
7. 기술통계: 대푯값·산포·그래프
7.1 대푯값
기호: 데이터 x₁, …, xₙ, 데이터 개수 n
- 평균값: x̄ = (x₁ + … + xₙ) / n — 극단적인 값(이상값)의 영향을 크게 받음
- 중앙값: 크기순으로 정렬했을 때 가운데 값 (n이 짝수면 가운데 두 값의 평균) — 이상값에 강함
- 최빈값: 가장 자주 나타나는 값
오른쪽으로 꼬리가 긴 분포(큰 값 쪽에 이상값)에서는 보통 평균값 > 중앙값이 됩니다.
7.2 산포
- 범위 = 최댓값 − 최솟값
- 분산 = 편차제곱의 평균: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / n
- 표준편차 = √분산
- 표본에서 모집단 분산을 추정할 때는 n 대신 n−1로 나누는 불편분산을 쓰기도 합니다. 문제에서 어느 쪽인지 확인하세요.
7.3 그래프
- 도수분포표·히스토그램: 데이터를 계급(구간)으로 나누고 도수를 막대로 나타냄. 분포의 모양(봉우리, 치우침)을 봄. 막대 사이에 간격이 없는 것이 일반적입니다.
- 상자수염그림: 최솟값, 제1사분위수 Q1, 중앙값(Q2), 제3사분위수 Q3, 최댓값을 표시.
- 사분위범위 IQR = Q3 − Q1 (가운데 50% 데이터의 폭)
- 흔히 쓰이는 관례로 Q1 − 1.5×IQR 미만 또는 Q3 + 1.5×IQR 초과를 이상값으로 표시하기도 합니다. 사분위수 계산법과 이상값 기준은 자료에 따라 다를 수 있으므로 문제의 정의를 따르세요.
8. 상관과 추론의 핵심 용어
8.1 상관계수
상관계수 r은 두 변수의 직선적 관계의 방향과 강도를 나타냅니다.
- −1 ≤ r ≤ 1
- r > 0: 양의 상관 (한쪽이 크면 다른 쪽도 큰 경향), r < 0: 음의 상관
- |r|이 1에 가까울수록 직선 관계가 강함
- r ≈ 0이라도 “관계가 전혀 없다”는 뜻은 아님 (곡선 관계일 수 있음)
상관 ≠ 인과: 상관이 높아도 한쪽이 다른 쪽의 원인이라고 단정할 수 없습니다. 제3의 변수가 두 변수에 영향을 주어 생기는 상관을 의사상관이라고 합니다.
8.2 추론 용어 요약
| 용어 | 간단한 설명 |
|---|---|
| 모집단 / 표본 | 알고 싶은 대상 전체 / 그중 실제로 관측한 일부 |
| 점추정 | 모수를 하나의 값으로 추정 (예: 표본평균으로 모평균 추정) |
| 구간추정 | 모수가 들어갈 것으로 보는 구간을 신뢰수준과 함께 제시 |
| 귀무가설 H₀ | “차이가 없다/효과가 없다” 같은 기준 가설 |
| 대립가설 H₁ | 귀무가설을 부정하여 보이고 싶은 가설 |
| 유의수준 α | 귀무가설이 참인데 기각할 위험을 어디까지 허용할지 미리 정한 기준 (예: 5%) |
| p값 | 귀무가설이 참이라고 가정했을 때, 관측된 결과 이상으로 극단적인 결과가 나올 확률 |
| 판정 | p값 ≤ α 이면 귀무가설을 기각, p값 > α 이면 기각하지 않음 |
| 제1종 오류 | 귀무가설이 참인데 기각하는 오류. 유의수준 α는 이 오류 확률의 상한이며, 검정이 정확히 크기 α로 보정된 경우에만 실제 확률이 α와 같습니다. |
| 제2종 오류 | 귀무가설이 거짓인데 기각하지 않는 오류 (확률 β) |
| 검정력 | 귀무가설이 거짓일 때 올바르게 기각할 확률 = 1 − β |
주의: p값은 “귀무가설이 참일 확률”이 아닙니다. 또 “기각하지 않음”은 “귀무가설이 참임이 증명됨”을 뜻하지 않습니다.
9. 풀이 예제
아래 예제는 모두 Motitory 오리지널이며 IPA 기출문제가 아닙니다.
예제 1 (경우의 수·확률): 5명 중 2명 고르기
A, B, C, D, E 5명이 있습니다. (1) 회장 1명과 부회장 1명을 고르는 방법의 수는? (2) 위원 2명을 고르는 방법의 수는? (3) 위원 2명을 무작위로 고를 때 A가 포함될 확률은?
풀이 (1) 역할이 구분되므로 순열: 5P2 = 5 × 4 = 20가지 (2) 역할이 같으므로 조합: 5C2 = 20 / 2! = 10가지 (3) A가 포함되는 경우: A를 먼저 확정하고 나머지 4명 중 1명 → 4C1 = 4가지. 확률 = 4/10 = 2/5 여사건으로 확인: A가 포함되지 않는 경우 = 4C2 = 6가지 → 1 − 6/10 = 2/5 ✔
예제 2 (조건부확률·베이즈 정리): 불량품 검사
어떤 공장에서 제품의 2%가 불량입니다. 검사기는 불량품을 90%의 확률로 “불량”이라고 판정하고, 정상품도 5%의 확률로 잘못 “불량”이라고 판정합니다. 검사기가 “불량”이라고 판정한 제품이 실제로 불량일 확률은?
풀이 D = 실제 불량, + = “불량” 판정이라고 하면
- P(D) = 0.02, P(Dᶜ) = 0.98
- P(+|D) = 0.90, P(+|Dᶜ) = 0.05
전확률: P(+) = 0.90 × 0.02 + 0.05 × 0.98 = 0.018 + 0.049 = 0.067 베이즈 정리: P(D|+) = 0.018 / 0.067 = 18/67 ≈ 0.269 (약 26.9%)
검사기가 꽤 정확해 보여도, 불량률(사전확률)이 낮으면 “불량” 판정의 대부분은 정상품의 오판정이 됩니다. 10,000개로 생각하면 불량 200개 중 180개, 정상 9,800개 중 490개가 “불량” 판정 → 180/670 ≈ 26.9%.
예제 3 (기댓값·분산): 이산 확률변수
확률변수 X의 분포가 다음과 같습니다.
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X=x) | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
풀이
- 확률 합 확인: 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1 ✔
- E[X] = 0×0.2 + 1×0.5 + 2×0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1
- E[X²] = 0²×0.2 + 1²×0.5 + 2²×0.3 = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7
- V[X] = 1.7 − 1.1² = 1.7 − 1.21 = 0.49
- σ = √0.49 = 0.7
X는 0, 1, 2 중 하나만 나오지만 기댓값은 1.1입니다. 기댓값이 실제로 나올 수 있는 값일 필요는 없습니다.
예제 4 (기술통계): 대푯값과 이상값
데이터: 2, 4, 4, 5, 10
풀이
- 평균값 = (2+4+4+5+10)/5 = 25/5 = 5
- 중앙값 = 정렬한 5개 중 3번째 = 4
- 최빈값 = 4
- 편차: −3, −1, −1, 0, 5 → 편차제곱 합 = 9+1+1+0+25 = 36
- n으로 나눈 분산 = 36/5 = 7.2 (표준편차 ≈ 2.68)
- n−1로 나눈 불편분산 = 36/4 = 9 (표준편차 = 3)
큰 값 10이 평균을 끌어올려 평균값(5) > 중앙값(4)이 되었습니다. 이상값이 있으면 중앙값이 대푯값으로 더 안정적입니다.
10. 오리지널 연습문제 4문항
다음 4문항은 Motitory 오리지널 문제이며, IPA 공식 기출문제가 아닙니다. 먼저 스스로 풀어 본 뒤 해설을 확인하세요.
문제 1 (경우의 수·순서)
8명의 멤버 중에서 리더, 부리더, 기록 담당을 1명씩 뽑습니다. 한 사람이 두 역할 이상을 맡을 수는 없습니다. 뽑는 방법은 모두 몇 가지입니까?
- A. 24
- B. 56
- C. 336
- D. 512
정답과 해설
정답: C
역할이 서로 다르므로 순서가 중요하며, 같은 사람의 중복은 허용되지 않습니다 → 순열 8P3 = 8 × 7 × 6 = 336.
- A. 24 = 3!로, 이미 정해진 3명에게 역할을 배정하는 방법만 센 값입니다. 8명 중 3명을 고르는 단계가 빠져 있습니다.
- B. 56 = 8C3으로, 역할 구분(순서)을 무시한 조합입니다. 56 × 3! = 336이 되어야 합니다.
- C. 정답입니다. 8P3 = 336.
- D. 512 = 8³으로, 한 사람이 여러 역할을 겸할 수 있는 중복순열입니다. 문제 조건에 어긋납니다.
문제 2 (겹침·조건부확률)
직원 200명 중 서비스 X 이용자는 120명, 서비스 Y 이용자는 80명, 두 서비스를 모두 이용하는 사람은 50명입니다. 무작위로 고른 직원이 서비스 X 이용자일 때, 그 직원이 서비스 Y도 이용할 확률은 얼마입니까?
- A. 1/4
- B. 5/12
- C. 5/8
- D. 3/4
정답과 해설
정답: B
조건이 “X 이용자”이므로 분모는 X 이용자 120명입니다. P(Y|X) = P(X∩Y)/P(X) = 50/120 = 5/12.
- A. 1/4 = 50/200으로, 두 서비스를 모두 이용할 동시확률 P(X∩Y)입니다. 조건으로 분모를 좁히지 않았습니다.
- B. 정답입니다. 50/120 = 5/12.
- C. 5/8 = 50/80으로, 반대 방향의 조건부확률 P(X|Y)입니다.
- D. 3/4 = 150/200으로, 적어도 한쪽을 이용할 확률 P(X∪Y) = (120+80−50)/200입니다. 겹침을 올바르게 뺐지만 묻는 값이 다릅니다.
문제 3 (기댓값·분산)
어떤 게임에서 얻는 포인트 X는 확률 0.6으로 0, 확률 0.4로 5입니다. X의 기댓값 E[X]와 분산 V[X]의 조합으로 옳은 것은 무엇입니까?
- A. E[X] = 2, V[X] = 4
- B. E[X] = 2, V[X] = 10
- C. E[X] = 2.5, V[X] = 6.25
- D. E[X] = 2, V[X] = 6
정답과 해설
정답: D
E[X] = 0×0.6 + 5×0.4 = 2 E[X²] = 0²×0.6 + 5²×0.4 = 10 V[X] = E[X²] − (E[X])² = 10 − 4 = 6
- A. V[X] = 4는 (E[X])² = 2²를 분산으로 착각한 값입니다.
- B. V[X] = 10은 E[X²]에서 (E[X])²를 빼지 않은 값입니다.
- C. 확률을 무시하고 0과 5를 같은 확률(0.5씩)로 본 값입니다. 평균 2.5, 분산 6.25가 되지만 주어진 확률과 다릅니다.
- D. 정답입니다. E[X] = 2, V[X] = 6.
문제 4 (추론 해석)
유의수준 5%로 가설검정을 실시한 결과 p값이 0.03이었습니다. 이 결과의 해석으로 가장 적절한 것은 무엇입니까?
- A. 귀무가설이 참이라고 가정할 때 관측된 결과 이상으로 극단적인 결과가 나올 확률이 0.03이므로, 유의수준 5%에서 귀무가설을 기각한다.
- B. 귀무가설이 참일 확률이 3%이다.
- C. 대립가설이 97%의 확률로 참임이 증명되었다.
- D. p값이 유의수준보다 작으므로 귀무가설을 기각하지 않는다.
정답과 해설
정답: A
p값 0.03 ≤ 유의수준 0.05이므로 귀무가설을 기각합니다. p값은 귀무가설을 전제로 한 “관측 결과 이상으로 극단적인 결과가 나올 확률”입니다.
- A. 정답입니다. p값의 정의와 판정 규칙을 모두 올바르게 서술했습니다.
- B. p값은 귀무가설이 참일 확률이 아닙니다. 귀무가설이 참이라고 가정한 상태에서 계산한 확률입니다.
- C. 1 − p값은 대립가설이 참일 확률이 아니며, 검정은 가설을 “증명”하지 않습니다.
- D. 판정 방향이 반대입니다. p값 ≤ 유의수준이면 귀무가설을 기각합니다.
11. 공식 요약표
| 항목 | 공식 |
|---|---|
| 계승 | n! = n(n−1)…1, 0! = 1 |
| 순열 | nPr = n!/(n−r)! |
| 조합 | nCr = n!/(r!(n−r)!) = nPr/r!, nCr = nC(n−r) |
| 중복순열 | n^r |
| 여사건 | P(Aᶜ) = 1 − P(A) |
| 덧셈정리 | P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) |
| 곱셈정리 | P(A∩B) = P(A)P(B|A) |
| 독립 | P(A∩B) = P(A)P(B) |
| 조건부확률 | P(B|A) = P(A∩B)/P(A) |
| 베이즈 정리 | P(A|B) = P(B|A)P(A) / [P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)] |
| 기댓값 | E[X] = Σ x·P(X=x) |
| 분산 | V[X] = E[X²] − (E[X])² |
| 표준편차 | σ = √V[X] |
| 선형 변환 | E[aX+b] = aE[X]+b, V[aX+b] = a²V[X] |
| 베르누이 | E = p, V = p(1−p) |
| 이항분포 | P(X=k) = nCk p^k (1−p)^(n−k), E = np, V = np(1−p) |
| 평균값 | x̄ = Σxᵢ / n |
| 사분위범위 | IQR = Q3 − Q1 |
| 상관계수 | −1 ≤ r ≤ 1 |
| 검정 판정 | p값 ≤ α → 귀무가설 기각 |
12. 자주 하는 실수
- 역할이 구분되는데 조합으로 계산하거나, 역할이 같은데 순열로 계산한다.
- 덧셈정리에서 겹치는 부분 P(A∩B)를 빼지 않는다.
- 배반과 독립을 같은 개념으로 착각한다.
- P(B|A)와 P(A|B)를 혼동한다(조건부확률의 분모를 잘못 잡는다).
- 베이즈 문제에서 사전확률(기저율)을 무시한다.
- 분산을 E[X²]로 끝내거나 (E[X])²와 혼동한다.
- 기댓값은 실제로 나올 수 있는 값이어야 한다고 생각한다.
- 연속형 분포에서 밀도 f(a)를 P(X=a)로 읽는다.
- 이상값이 있는 데이터에서 평균값만으로 대표성을 판단한다.
- 상관계수가 크다는 이유로 인과관계를 단정한다.
- p값을 “귀무가설이 참일 확률”로 해석하거나, 기각하지 않음을 “귀무가설이 증명됨”으로 해석한다.
- 제1종 오류와 제2종 오류의 정의를 뒤바꾼다.
13. 최종 자가 점검
- 순열과 조합 중 무엇을 쓸지 “순서가 중요한가”로 판단할 수 있다.
- P(A∪B) 공식과, 그것이 P(A)+P(B)로 단순해지는 조건을 말할 수 있다.
- 배반인 두 사건(확률이 모두 양수)이 독립이 아닌 이유를 설명할 수 있다.
- 예제 2를 표나 10,000개 가정으로 다시 풀 수 있다.
- E[X], E[X²], V[X], σ를 순서대로 계산할 수 있다.
- 이항분포의 P(X=k), E, V 공식을 쓸 수 있다.
- 확률밀도가 한 점의 확률이 아닌 이유를 설명할 수 있다.
- 상자수염그림에서 Q1, 중앙값, Q3, IQR을 읽을 수 있다.
- p값의 정의와 제1종/제2종 오류를 정확히 말할 수 있다.
14. 1·3·7일 간격 복습 제안
이 제안은 학습자 정보를 전혀 수집하지 않습니다. 본인의 노트나 달력에만 기록하세요.
- 1일 후: 공식 요약표를 가리고 순열·조합·덧셈정리·베이즈 정리·분산 공식을 종이에 써 본다. 연습문제 1·2를 다시 푼다.
- 3일 후: 예제 2와 예제 3을 해설 없이 다시 풀고, 연습문제 3을 푼다. 자주 하는 실수 목록에서 해당되는 항목을 확인한다.
- 7일 후: 연습문제 4문항을 모두 다시 풀고 각 오답 선택지가 왜 틀렸는지 설명해 본다. 자가 점검 항목을 모두 체크할 수 있는지 확인한다.
15. IPA 실라버스 대응
이 회차는 IPA 「応用情報技術者試験（レベル3）シラバス Ver.7.2」의 다음 항목에 대응합니다.
- 大分類1：基礎理論／中分類1：基礎理論／2. 応用数学／（1）確率と統計／①確率
- 大分類1：基礎理論／中分類1：基礎理論／2. 応用数学／（1）確率と統計／②統計
이 회차는 과목 A에서 중요한 핵심 계산과 해석을 우선적으로 다룹니다. 위 실라버스 소항목에 포함된 모든 용어(예: 마르코프 과정, 푸아송 분포, 지수분포, 카이제곱분포, 회귀분석, 분산분석, 주성분분석, 최우추정, t검정 등)를 빠짐없이 다룬다고 주장하는 것은 아닙니다.
16. 출처
- IPA 「応用情報技術者試験（レベル3）シラバス Ver.7.2」 (범위 확인용, 2026-10-20 확인): https://www.ipa.go.jp/shiken/syllabus/omgdg50000005kq5-att/syllabus_ap_ver7_2.pdf
위 출처는 학습 범위를 확인하는 용도로만 사용했습니다. 이 글의 설명, 예제, 연습문제는 Motitory Labs가 독자적으로 작성했습니다.